divendres, 23 d’agost del 2013
1. L'altre dia vam parlar de l'origen de l'equació de segon grau. Podem utilitzar aquest mateix procés per aconseguir amb relativa facilitat la solució d'una equació. Vegem-ho amb un exemple:
| Equació a resoldre: | $x^2 + 10x + 24 = 0$ |
| 1. Aïllem el terme independent | $x^2 + 10x = -24$ |
| 2. Busquem la identitat notable | $x^2 + 10x + 25 = -24 + 25$ |
| 3. Apliquem la identitat | $(x+5)^2=1$ |
| 4. Aïllem $x$ | $x=\pm1-5$ |
| $x=-4$ ; $x=-6$ |
2. El mètode anterior és força mecànic i probablement hauràs d'utilitzar mina de llapis per utilitzar-lo. Ara bé, considero que el mètode següent és més recomanable, ja que amb una mica de pràctica podràs aconseguir millors resultats.
a) Partim d'una equació de segon grau $x^2+mx+n=0$ amb solucions enteres. Com que té solucions, la podem factoritzar de manera que:
a) Partim d'una equació de segon grau $x^2+mx+n=0$ amb solucions enteres. Com que té solucions, la podem factoritzar de manera que:
$x^2+mx+n = (x+a)·(x+b)$
$x^2+mx+n = x^2+(a+b)x + ab$
Per tant, per trobar la solució d'una equació de segon grau mentalment només hem de trobar dos nombres $a$ i $b$ tals que compleixin:
$m= a+b$
$n=ab$
Les solucions de l'equació seran $-a$ i $-b$.
Vegem ara alguns exemples:
Exemple 1:
b) L'apartat anterior no comprèn totes les equacions de segon grau. Què passa si $x^2$ té coeficient?
Considerem ara l'equació $px^2+qx+r=0$ amb solucions enteres:
Personalment, em va bé disposar-ho tot de la següent manera:
$x=\frac{1}{3}$ ; $x=5$
Vegem ara alguns exemples:
Exemple 1:
$x^2+9x+20=0$
Hem de buscar dos números la suma dels quals sigui $9$ i el producte dels quals sigui $20$.
Ja els tens?
Efectivament, el $4$ i el $5$ satisfan els nostres requisits.
$x^2+9x+20=(x+4)(x+5)$
$x=-4$ ; $x=-5$
$x=-4$ ; $x=-5$
Exemple 2:
$x^2-16x+39=0$
Quins números sumen $-16$ i tenen com a producte $39$?
Correcte, el $-3$ i el $-13$.
$x^2+16x+39=(x-3)(x-13)$
$x=3$ ; $x=13$
$x=3$ ; $x=13$
b) L'apartat anterior no comprèn totes les equacions de segon grau. Què passa si $x^2$ té coeficient?
Considerem ara l'equació $px^2+qx+r=0$ amb solucions enteres:
$px^2+qx+r=(ax+b)(cx+d)$
$px^2+qx+r=acx^2+(ad+bc)x+bd$
En aquest cas, per trobar les solucions haurem de trobar quatre nombres $a$, $b$, $c$ i $d$ que compleixin:
$p=ac$
$q=ad+bc$
$r=bd$
Les solucions de l'equació seran $\frac{-b}{a}$ i $\frac{-d}{c}$Personalment, em va bé disposar-ho tot de la següent manera:
$px^2+qx+r=0$
$a$ $b$
$c$ $d$
Pot semblar tot una mica enrevessat, però amb una mica de pràctica et resultarà força simple.
Vegem ara alguns exemples:
Exemple 1:
$4x^2+15x+9=0$
$a$ $b$
$c$ $d$
$c$ $d$
Solució:
$a=1$, $c=4$, $b=3$ i $d=3$
Per tant:
$4x^2+15x+9=(x+3)(4x+3)$
$x=-3$ ; $x=\frac{-3}{4}$
Exemple 2:
$3x^2-16x+5=0$
$a$ $b$
$c$ $d$
$c$ $d$
Solució:
$a=3$, $c=1$, $b=-1$ i $d=-5$
Per tant:
$3x^2+16x+5=(3x-1)(x-5)$$x=\frac{1}{3}$ ; $x=5$
T'ha agradat l'article?
Si us plau, ajuda'ns a difondre'l!
Molt bon mètode per trobar la solució d'una equació de segon grau de forma mecànica i ràpida, Ramon! Moltes gràcies per compartir-la amb nosaltres. Així estalviem bastant temps!
ResponElimina