Com resoldre equacions de segon grau mentalment?

Escrit per: Ramon divendres, 23 d’agost del 2013

Saber resoldre equacions de segon grau amb coeficients enters mentalment, sense haver d'utilitzar la fórmula ni la calculadora, ens pot estalviar molt de temps. És per això que avui us porto un parell de mètodes per solucionar-les de manera ràpida i àgil.

1. L'altre dia vam parlar de l'origen de l'equació de segon grau. Podem utilitzar aquest mateix procés per aconseguir amb relativa facilitat la solució d'una equació. Vegem-ho amb un exemple:

Equació a resoldre:	$x^2 + 10x + 24 = 0$
1. Aïllem el terme independent	$x^2 + 10x = -24$
2. Busquem la identitat notable	$x^2 + 10x + 25 = -24 + 25$
3. Apliquem la identitat	$(x+5)^2=1$
4. Aïllem $x$	$x=\pm1-5$
	$x=-4$ ; $x=-6$

2. El mètode anterior és força mecànic i probablement hauràs d'utilitzar mina de llapis per utilitzar-lo. Ara bé, considero que el mètode següent és més recomanable, ja que amb una mica de pràctica podràs aconseguir millors resultats.

a) Partim d'una equació de segon grau

$x^2+mx+n=0$ amb solucions enteres. Com que té solucions, la podem factoritzar de manera que:

$x^2+mx+n = (x+a)·(x+b)$

$x^2+mx+n = x^2+(a+b)x + ab$

Per tant, per trobar la solució d'una equació de segon grau mentalment només hem de trobar dos nombres

$a$ i

$b$ tals que compleixin:

$m= a+b$

$n=ab$

Les solucions de l'equació seran

$-a$ i

$-b$ .

Vegem ara alguns exemples:
Exemple 1:

$x^2+9x+20=0$

Hem de buscar dos números la suma dels quals sigui

$9$ i el producte dels quals sigui

$20$ .

Ja els tens?

Efectivament, el

$4$ i el

$5$ satisfan els nostres requisits.

$x^2+9x+20=(x+4)(x+5)$

$x=-4$ ;

$x=-5$

Exemple 2:

$x^2-16x+39=0$

Quins números sumen

$-16$ i tenen com a producte

$39$ ?

Correcte, el

$-3$ i el

$-13$ .

$x^2+16x+39=(x-3)(x-13)$

$x=3$ ;

$x=13$

b) L'apartat anterior no comprèn totes les equacions de segon grau. Què passa si

$x^2$ té coeficient?
Considerem ara l'equació

$px^2+qx+r=0$ amb solucions enteres:

$px^2+qx+r=(ax+b)(cx+d)$

$px^2+qx+r=acx^2+(ad+bc)x+bd$

En aquest cas, per trobar les solucions haurem de trobar quatre nombres

$a$ ,

$b$ ,

$c$ i

$d$ que compleixin:

$p=ac$

$q=ad+bc$

$r=bd$

Les solucions de l'equació seran

$\frac{-b}{a}$ i

$\frac{-d}{c}$

Personalment, em va bé disposar-ho tot de la següent manera:

$px^2+qx+r=0$

$a$

$b$

$c$

$d$

Pot semblar tot una mica enrevessat, però amb una mica de pràctica et resultarà força simple.

Vegem ara alguns exemples:

Exemple 1:

$4x^2+15x+9=0$

$a$

$b$

$c$

$d$

Solució:

$a=1$ ,

$c=4$ ,

$b=3$ i

$d=3$

Per tant:

$4x^2+15x+9=(x+3)(4x+3)$

$x=-3$ ;

$x=\frac{-3}{4}$

Exemple 2:

$3x^2-16x+5=0$

$a$

$b$

$c$

$d$

Solució:

$a=3$ ,

$c=1$ ,

$b=-1$ i

$d=-5$

Per tant:

$3x^2+16x+5=(3x-1)(x-5)$

$x=\frac{1}{3}$ ;

$x=5$

{ 1 comentarios ... llegeix-los a sota o afegeix-ne un }

Anònim6 de setembre del 2013, a les 23:00
Molt bon mètode per trobar la solució d'una equació de segon grau de forma mecànica i ràpida, Ramon! Moltes gràcies per compartir-la amb nosaltres. Així estalviem bastant temps!
ResponElimina
Respostes

Com resoldre equacions de segon grau mentalment?

T'ha agradat l'article?

Si us plau, ajuda'ns a difondre'l!

{ 1 comentarios ... llegeix-los a sota o afegeix-ne un }

Entrada a l'atzar

El més vist

Què diuen al Twitter?

Temes

Traductor