dissabte, 16 d’agost del 2014
La setmana passada vam plantejar un enigma de probabilitat a les xarxes socials. Es tracta d'una simplificació que vam fer al problema conegut com el problema de Newton-Pepys.
En primer lloc, moltes gràcies als meus companys robòtics del blog Robologs, que em van donar a conèixer el problema. Robologs és un blog que sens dubte recomano a tots els amants dels enigmes i la informàtica.
Novament, m'agradaria remarcar que aquest no és el problema de Newton-Pepys, sinó que es tracta d'una simplificació que vam fer amb la finalitat de fer-lo més didàctic. El problema diu:
1. Què és més probable?
a) Tirar 2 monedes i obtenir com a mínim una cara.
b) Tirar 4 monedes i obtenir com a mínim dues cares.
c) Tirar 6 monedes i obtenir com a mínim tres cares.
2. Quines són les respectives probabilitats?
3. Quina és la probabilitat de tirar "2n" monedes i obtenir com a mínim "n" cares?
A contínuació, proposarem una solució al problema. Si vols pensar-lo, no segueixis llegint.
Resolució
De l'enunciat del problema cal remarcar el "com a mínim", perquè sense aquestes tres paraules el problema seria radicalment diferent.
Sigui 2x el nombre de monedes, x el nombre mínim de cares que hem d'obtenir i P(x) la probabilitat d'aconseguir aquest mínim de cares, és fàcil veure que P(1)=0.75, ja que tres dels quatre possibles llançaments tenen èxit:
 |
| Imatge via Robologs |
En aquest cas és fàcil veure-ho "a ull", però per la resta de casos recorrerem a la combinatòria. Per aquells que no hi estigueu familiaritzats, aquest recurs us pot ser útil.
Què passa per P(2)?
Fixem-nos que, en aquest cas, el nombre de possibilitats serà VR(2,4)=24=16, ja que:
- Importa l'ordre: La possibilitats "C C X X" i "X C X C" són diferents, encara que a efectes pràctics el resultat sigui el mateix.
- Es pot repetir: És trivial, ja que podem treure més d'una cara o més d'una creu.
Vist des d'un altre punt de vista: Hem d'assignar cara o creu a 4 monedes. Cada moneda té 2 possibilitats. Per tant, el nombre total de possibilitats serà 2·2·2·2=24=16.
Ara bé, en quantes d'aquestes possibilitats hi ha 2 o més cares?
Per calcular això, el que fem és trobar el nombre de possiblitats amb 2, 3 i 4 cares i sumar-ho tot.
Podem trobar el nombre de maneres d'obtenir dues cares triant 2 de les 4 monedes. En aquest cas:
- No importa l'ordre: És el mateix triar la 1a moneda en primer lloc i la 2a en segon que triar la 2a en primer lloc i la 1a en segon.
- No es pot repetir: Trivial, no pots triar una moneda més d'un cop.
Per tant, aquest càlcul el podem fer com C(4,2)=(42)=4!2!·2!=6.
El nombre de possibilitats amb 3 i 4 cares es calcularan de la mateixa manera.
En resum, el nombre de possibilitats 2 o més cares serà:
C(4,2)+C(4,3)+C(4,4)
=(42)+(43)+(44)
=6+4+1=11 possibilitats.
=(42)+(43)+(44)
=6+4+1=11 possibilitats.
Per tant, P(2)=1116=0.6875
Trobarem P(3) de la mateixa manera que P(2).
Nombre total de possibilitats: VR(2,6)=26=64
Número de possibilitats amb 3 o més cares:
C(6,3)+C(6,4)+C(6,5)+C(6,6)
=26−C(6,0)−C(6,1)−C(6,2)=64−1−6−15=42
Per tant, P(3)=4264=2132=0.65625
C(6,3)+C(6,4)+C(6,5)+C(6,6)
=26−C(6,0)−C(6,1)−C(6,2)=64−1−6−15=42
Per tant, P(3)=4264=2132=0.65625
Com a conclusió, s'ha observat que el més probable és tirar dues monedes i que surti com a mínim una cara. A mesura que augmentem el nombre de monedes, observem una certa tendència a la baixa.
Passem ara a la generalització del problema. Hem de trobar una funció que determini, en funció de n, la probabilitat de treure n o més cares en tirar 2n monedes.
Nombre total de possibilitats: VR(2,2n)=22n=4n
Sabem que:
C(2n,0)+C(2n,1)+...+C(2n,2n)=∑2ni=0(2ni)=22n=4n
De les propietats dels nombres combinatoris, coneixem que:
C(p,q)=(pq)=C(p,p−q)=(pp−q)=p!q!·(p−q)!
Per tant:
2·(C(2n,n)+C(2n,n+1)+...+C(2n,2n))−C(2n,n)=4n
C(2n,n)+C(2n,n+1)+...+C(2n,2n)=4n+C(2n,n)2
Finalment tenim que:
P(n)=4n+C(2n,n)24n=12+(2nn)22n+1
Fixem-nos, a més que: limn→∞P(n)=12 i, per tant, quantes més monedes tinguem, més s'acostarà la probabilitat al 50%.
T'ha agradat l'article?
Si us plau, ajuda'ns a difondre'l!
