Escrit per: Ramon dissabte, 15 de febrer del 2014

$1 + 2 + 3 + 4 + ... = \frac{-1}{12}$
A primer cop d'ull, l'expressió anterior pot semblar una tonteria, però és una igualtat acceptada per diferents físics i matemàtics si la suma s'extén fins a l'infinit.

De fet, aquesta igualtat és utilitzada en molts àmbits diferents de la física, com per exemple en la teoria de les cadenes. Quan la vaig veure per primer cop a Numberphile, simplement no m'ho podia creure. Em van venir al cap moltes preguntes:

- Com pot ser que la suma de molts (i encara molts més) nombres positius tingui com a resultat un nombre negatiu?
- Per què el resultat de la suma és un número fraccionari?
- I la més impactant de totes, com és que el resultat de la suma no és $\infty$?
$$\sum_{n=0}^{\infty}n=\frac{-1}{12}$$
Evidentment, les persones que no coneguin aquesta igualtat no se la creuran si no els la demostres. Passem doncs a veure una demostració (tot s'ha de dir, no massa rigorosa, però força entenedora):

Per demostrar-ho ens fixarem primer en 2 sumes diferents $S_{1}$ i $S_{2}$:
1. $S_{1}=1-1+1-1+1-1+...$

Fixem-nos que:
$S_{1}=1-1+1-1+1-1+...$
$S_{1}=1-(1-1+1-1+1-1+...)$
$S_{1}=1-S_{1}$
$2S_{1}=1$
$$S_{1}=\frac{1}{2}$$
Aquesta suma també és coneguda com a sèrie de Grandi en honor a Guido Grandi, un matemàtic italià del segle XVIII, que va estudiar-la i va fer-ne algunes aportacions destacades.
Val a dir, però, que es tracta d'una sèrie divergent, és a dir, que a la llarga no convergeix a un punt "estable" (ja que el valor de la sèrie es manté oscil·lant, prenent únicament els valors 0 i 1). Tot això implica que no és una suma entesa tal com la coneixem habitualment.

2. $S_{2}=1-2+3-4+5-6...$
Quant val $S_{2}$ si extenem la suma a l'infinit?

Per trobar el valor de $S_{2}$ fem una suma terme a terme, desplaçant un dels sumands una posició cap a la dreta. És a dir:
   $S_{2}=1-2+3-4+5-6...$
+ $S_{2}=$        $1-2+3-4+5-6...$
 $2S_{2}=(1+0)+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+(5-4)+...$
 $2S_{2}=1-1+1-1+1-1+...=S_{1}$
 $2S_{2}=\frac{1}{2}$

Per tant:
$$S_{2}=\frac{1}{4}$$
Nota: Podem trobar directament $S_{2}$ d'una manera alternativa per mitjà de la fórmula $1+x+x^2+x^3+...=\frac{1}{1-x}$ on $x<1$ (Vegeu aquest document). Si derivem l'expressió anterior obtenim: $$1+2x+3x^2+4x^3+...=\frac{1}{(1-x)^2}$$ $$$$Per x=-1 tenim que:  $$S_{2}=1-2+3-4+5-6+...=\frac{1}{4}$$

Sabent que $S_{2}=\frac{1}{4}$, sigui $S=1+2+3+4+5+6...$, restant $S_{2}$ a $S$ podrem obtenir el sorprenent resultat de $-\frac{1}{12}$:
       $S=1+2+3+4+5+6...$
$-(S_{2}=1-2+3-4+5-6...)$
$S-S_{2}=(1-1)+(2+2)+(3-3)+(4+4)+...$
$S-S_{2}=4+8+12+16+...$
$S-S_{2}=4(1+2+3+4+...)$
$S-S_{2}=4S$
$S-\frac{1}{4}=4S$
$3S=-\frac{1}{4}$
$$S=-\frac{1}{12}$$
L'expressió a la qual ens referim s'ha utilitzat en molts àmbits diferents de
la física, com per exemple en la teoria de les cadenes.
Increïble, oi?

Per a més informació:
Sèries convergents
Sèries divergents

Us recomano els següents vídeos de Numberphile:




{ 2 comentarios ... llegeix-los a sota o afegeix-ne un }

  1. Un resultat meravellós, sens dubte. L'altra que m'agrada és "1+1+1+1+1+..." També fa de bon sumar.

    Tinc un comentari delicat a fer i no vull que es malinterpreti. Que un resultat provingui de les Teories de Cordes no ens diu gaire del món real. A més a més, un resultat matemàtic no hauria de dependre en els seus èxits en una teoria física ja que les matemàtiques viuen en un món a part.

    On sí que s'han d'aplicar resultats semblants i que s'hagi estudiat al laboratori és en les Forces de Casimir (on apareix en forma de suma d'infinits estats d'energia (o alguna cosa per l'estil)).

    ResponElimina
  2. Moltes gràcies pel brillant comentari (com sempre), Alasanid.

    Tens raó, un resultat matemàtic mai pot dependre d'un fet físic, i no m'agradaria que s'entengués així.

    Certament, tal com dius l'exemple de les forces de Casimir és molt millor.

    Gràcies Alasanid!

    ResponElimina

Entrada a l'atzar

Què diuen al Twitter?

Traductor

- Copyright © CocoCiència - Powered by Blogger and Metrominimalist -