dimecres, 25 de setembre del 2013
Tots coneixem el teorema de Pitàgores. En un triange rectangle, la suma dels seus catets al quadrat és igual a la hipotenusa al quadrat. Però... quins números enters compleixen aquesta propietat? Hi ha alguna manera de trobar-ne infinites combinacions? Ho descobrim!
Si pensem en un triangle de catets 3 i 4 cm, respectivament, de ben segur que ràpidament ens ve al cap que la hipotenusa fa 5 cm. De tants cops que ho hem utilitzat, que ja fins i tot ho recordem de memòria.
Potser fins i tot coneixem més combinacions. Per exemple, 5, 12 i 13. O bé 6, 8 i 10. Però... hi ha cap manera mecànica, un algoritme, de trobar tantes combinacions com vulgui? Oi tant! Ara ho explicaré.
Busquem tres nombres enters, a, b i c, que compleixin el Teorema de Pitàgores, sent a i b els catets i c la hipotenusa. O el que és el mateix, que compleixin:
$a^{2}$ + $b^{2}$ = $c^{2}$
Per fer-ho, hem de pensar en dos nombres, que anomenarem simbòlicament u i v. Aquests nombres han de ser enters positius i de paritat distinta (és a dir, un d'ells ha de ser parell i l'altre imparell), i u ha de ser més gran que v.
En aquestes condicions, establim que:
a = $u^{2}$ - $v^{2}$
b = 2 $u\times{v}$
c = $u^{2}$ + $v^{2}$
Per exemple, si triem com a u el número 8 i com a v el número 5, tenim que una combinació possible és un triangle amb catets 39 i 80, i hipotenusa 89. Ho podeu comprobar fàcilment aplicant el Teorema de Pitàgores.
I així infinitament. Un altre exemple, si suposem u com 256 i v com 177, tenim un triangle de catets 34207 i 90624, i hipotenusa 96865!
Per tant, mitjançant aquesta relació, podem trobar moltes combinaciones possibles de nombres enters que satisfacin el Teorema de Pitàgores.
Especial agraïment al doctor Josep Lluís Font Garcia, professor de física a l'Escola Tècnica Superior d'Enginyeries Industrial i Aeroespacials de Terrassa (ETSEIAT, de la UPC), per descobrir-me aquesta manera tan curiosa de trobar ternes pitagòriques!
T'ha agradat l'article?
Si us plau, ajuda'ns a difondre'l!
