dissabte, 5 d’octubre del 2013
L'altre dia en Josep va parlar d'un mètode molt interessant per trobar ternes pitagoriques. Recordem-ho:
Busquem tres nombres enters, $a$, $b$ i $c$, que compleixin el Teorema de Pitàgores, sent $a$ i $b$ els catets i $c$ la hipotenusa. O el que és el mateix, que compleixin: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$
Per fer-ho, hem de pensar en dos nombres, que anomenarem simbòlicament $u$ i $v$. Aquests nombres han de ser enters positius i de paritat distinta (és a dir, un d'ells ha de ser parell i l'altre imparell), i $u$ ha de ser més gran que $v$. En aquestes condicions, establim que:$a = u^{2} - v^{2}$; $b = 2 uv$; $c = u^{2} + v^{2}$
Ara bé, d'on surten aquestes fórmules? Com les podem deduir?
Nota: Una terna $(a, b, c)$ compleix:
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
En primer lloc, sigui $(a, b, c)$ una terna pitagòrica qualsevol i $n$ un enter positiu qualsevol, cal remarcar que la terna $(a · n, b · n, c · n)$ també serà pitagòrica.
Comencem la resolució suposant que la terna $(a, b, c)$ té un factor comú $k$. Això significa que $(\frac{a}{k},\frac{b}{k},\frac{c}{k})$ és una terna pitagòrica. En el nostre cas només ens interessa trobar ternes primitives, és a dir, que no tinguin cap factor comú.
Conseqüentment, tota terna formada per tres nombres parells ja no serà vàlida.
Conseqüentment, tota terna formada per tres nombres parells ja no serà vàlida.
Tampoc ho serà si té dos nombres parells (ja que parell $+$ parell $\neq$ imparell, i per tant hauria d'estar formada per 3 nombres parells i no seria primitiva) o tres nombres imparells (perquè imparell $+$ imparell $\neq$ imparell).
En resum, les ternes que busquem estan formades per un nombre parell i dos nombres senars.
Partint de l'equació $c^{2} = b^{2} + a^{2}$, si $c$ fos un nombre parell, aleshores $b$ i $a$ haurien de ser imparells. Però això no pot ser ja que:
$c^2 = 4p$*
$b^2 = 4q + 1$*
$a^2 = 4r + 1$*
$c^{2} = b^{2} + a^{2}$
$4p = (4q + 1) + (4r + 1)$
$4p \neq 4k + 2$
*Nota: $p$, $q$, $r$, $k$ són enters positius qualsevols.
*Nota: Tot quadrat d'un nombre parell és múltiple de $4$.
*Nota: Tot quadrat d'un nombre senar és múltiple de $4 + 1$.
Així doncs, agafem $a$ parell i $b$ i $c$ imparells, i escrivim:
$c^{2} = b^{2} + a^{2}$
$a^{2} = c^{2} - b^{2}$
$a^{2} = (c + b)·(c - b)$
Com que $a$, $c + b$ i $c - b$ són tots nombres parells, anomenem les següents variables:
$a = 2l$
$c + b = 2m$
$c - b = 2n$
Seguidament substituïm, de tal manera que:
$(2l)^2 = (2m) · (2n)$
$4l^2 = 4mn$
$l^2 = mn$
Fixem-nos que el màxim comú divisor de $m$ i $n$ és $1$, ja que si existís un divisor comú de $m$ i $n$ més gran que $1$ aquest també ho hauria de ser de $c$ i $b$, i això no és possible perquè hem partit d'una terna que no tenia cap factor comú. Per aquest motiu $m \neq n$ i aleshores, perquè aquesta igualtat sigui vàlida, $m$ i $n$ hauran de ser quadrats perfectes. Per tant, declarant les variables $m = u^2$ i $n = v^2$:
$l^2 = u^2 · v^2$
$l = u · v$
Per acabar, tenint en compte que $c > b$, reescrivim la terna inicial $(a, b, c)$ en funció de $u$ i $v$:
$a = 2l$
$a = 2uv$
|
$b = 2m - c$
$b = 2m - (2n + b)$
$2b = 2m - 2n$
$b = m - n$
|
$c = 2n + b$
$c = 2v^2 + (u^2 - v^2)$
|
Com a conclusió, podem aconseguir ternes pitagòriques, i per tant triangles rectangles amb costats enters, donant valors enters positius a $u$ i a $v$ (sempre recordant que $u > v$) en la terna:
$(2uv, u^2 - v^2, u^2 + v^2)$
o
o
$(2uv)^2 + (u^2 - v^2)^2 = (u^2 + v^2)^2$
Resolució de problemes curiosos de matemàtiques - Ramon Viñas i Torné
T'ha agradat l'article?
Si us plau, ajuda'ns a difondre'l!
