diumenge, 21 de juliol del 2013
La inducció és un mètode matemàtic molt útil, que ens permet demostrar infinites proposicions o propietats.
 |
| Sovint es compara el mètode d'in- ducció amb l'efecte dòmino, per- què es produeix una reacció en cadena. |
Consta bàsicament de tres passos:
1. Es demostra que el número 1 és vàlid per la proposició.
2. Aleshores se suposa que la propietat és vertadera per un nombre enter positiu k.
3. Finalment, es demostra que també es verifica pel següent número, k+1.
D’aquesta manera, si una propietat és vàlida tant per k com per k+1, queda demostrat que és vàlida per a qualsevol nombre d’una sèrie determinada.
Posarem un clàssic exemple per il·lustrar-ho:
1. Per començar, comprovem si n=1 compleix aquesta propietat:
3. Finalment ens preguntem: es compleix la mateixa propietat per n=k+1?
Volem provar que:
1. Per començar, comprovem si n=1 compleix aquesta propietat:
Efectivament, la compleix.
2. A continuació, suposem que és vertader per un nombre n=k:
Substituïm la igualtat de l'apartat 2 al 3 i arreglem l'expressió:
(1) Hem tret factor comú (k+1)
D'aquesta manera, hem demostrat que la propietat és vàlida per qualsevol n enter positiu.
Aprofitem l'avinentesa per explicar que al llarg de la història s’han explicat nombroses anècdotes sobre l’origen de l'expressió demostrada. La més famosa d’elles és la protagonitzada per Johann Carl Friedrich Gauss, considerat “el príncep de les matemàtiques” i un dels 5 millors matemàtics de tota la història.
Es diu que un dia, quan Gauss tenia 10 anys, el seu professor de matemàtiques, intentant aconseguir uns quants minuts de tranquil·litat, va manar als seus alumnes sumar els cent primers números naturals.
Pocs segons més tard, Gauss va aixecar la mà afirmant que la solució era 5050. El nen prodigi va trobar mentalment que la suma del primer terme amb l’últim, la del segon amb el penúltim, (i així successivament) ... era constant, ja que:
Pocs segons més tard, Gauss va aixecar la mà afirmant que la solució era 5050. El nen prodigi va trobar mentalment que la suma del primer terme amb l’últim, la del segon amb el penúltim, (i així successivament) ... era constant, ja que:
1+100=2+99=3+98=...=101
D’aquesta manera, sabent que es podien formar parelles de números com les anteriors, va aconseguir trobar la suma ràpidament amb el simple producte 50·101.
 |
| Johann Carl Friedrich Gauss |
T'ha agradat l'article?
Si us plau, ajuda'ns a difondre'l!
